Cosa significa il valore medio del log-return di un'azione?

I log-returns sono molto usati in matematica finanziaria, specialmente nella finanza quantitativa. La proprietà importante è che sono simmetrici intorno a 0 rispetto all'addizione.

Questa proprietà rende possibile parlare di un rendimento medio.

Per esempio, se un'azione scende del 20% in un periodo di tempo, deve guadagnare il 25% per tornare al punto di partenza. Per il log-return invece i numeri sono 0,223 giù per un periodo di tempo, e 0,223 su per tornare alla casella 1.

In questo senso, puoi semplicemente prendere una media aritmetica e ha senso. Potete liberamente aggiungere o sottrarre valori sulla scala logaritmica, come i tassi d'interesse logaritmici o i tassi d'inflazione logaritmici. Mentre la media aritmetica dei rendimenti (non log) è semplicemente senza senso: Un'azione con rendimenti -3% e +3% avrebbe una media dello 0%, quando in realtà l'azione è scesa di prezzo?

L'approccio corretto sul prezzo-rendimento diretto sarebbe quello di prendere una media diversa (per esempio geometrica) per ottenere una media decente. E tuttavia sarà difficile incorporare altre informazioni, come sottrarre il tasso privo di rischio o il tasso di inflazione per ottenere rendimenti medi aggiustati al tasso.

In breve: i rendimenti logici sono più facili da gestire computazionalmente, specialmente in massa, ma i rendimenti non-log sono più facili da comprendere/immaginare come un numero proprio.

Probabilmente il modo migliore per investigare questo è guardare un esempio. In primo luogo, come i commentatori sopra hanno già detto, il log-return di un periodo è log(prezzo al tempo t/prezzo al tempo t-1) che è approssimativamente uguale al cambiamento percentuale del prezzo dal tempo t-1 al tempo t, a condizione che questo cambiamento percentuale non sia grande rispetto alla dimensione del prezzo. (Notate che dovete usare il log naturale, cioè il log alla base e – tasto ln su una calcolatrice – qui).

L'uso principale del log-return è che è un proxy per la variazione percentuale del prezzo, che risulta essere matematicamente conveniente, per varie ragioni che sono state per lo più già menzionate nei commenti.

Ma questo lo sapete già; la vostra domanda attuale riguarda il log-return medio su un periodo di tempo. Che cosa indica questo riguardo alle azioni?

La risposta è: se il prezzo delle azioni non cambia molto, allora il log-return medio è circa uguale alla variazione percentuale media del prezzo, ed è molto facile e veloce da calcolare. Ma se il prezzo delle azioni è molto volatile, allora il log-return medio può essere molto diverso dalla variazione percentuale media del prezzo.

Ecco un esempio: i prezzi di chiusura di Pitchfork Oil della scorsa settimana sono: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. Le variazioni percentuali sono: -0,5, 1,4, -0,58, 1, -0,8, 6,5 (dove -0,5 significa -50%, ecc.) Il cambiamento percentuale medio è 1,17, o 117%. D'altra parte, i log-returns per lo stesso periodo sono -0,69, 0,88, -0,88, 0,69, -1,6, 2, e il log-return medio è circa 0,068. Se usassimo questo come proxy per il cambiamento percentuale medio del prezzo durante tutti i sette giorni, otterremmo il 6,8% invece del 117%, il che è selvaggiamente sbagliato. Il motivo per cui è sbagliato è che il prezzo ha fluttuato così tanto.

D'altra parte, i prezzi di chiusura per United Marshmallow nello stesso periodo sono 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. La variazione percentuale media da un giorno all'altro è 0,073, e il log-return medio è 0,068, quindi in questo caso il log-return è molto vicino alla variazione percentuale. E ha il vantaggio di essere calcolabile solo dal primo e dall'ultimo prezzo, perché le proprietà dei logaritmi implicano che si semplifica a (log(15)-log(10))/6. Notate che questo è esattamente lo stesso di Pitchfork Oil.

Quindi una ragione per cui potreste essere interessati al log-return medio è che fornisce un modo molto veloce per stimare il rendimento medio, se il prezzo delle azioni non cambia molto.

Un'altra ragione, più sottile, è che si comporta meglio del rendimento percentuale. Quando il prezzo di Pitchfork salta da 5 a 12 e poi crolla di nuovo a 5, le variazioni percentuali sono +140% e -58%, per una media di +82%. Sembra buono, ma se l'aveste comprato a 5, e poi venduto a 5, avreste in realtà guadagnato lo 0% sui vostri soldi. I log-returns per lo stesso periodo non hanno questa inquietante proprietà, perché si sommano allo 0%.

Qual è la vera differenza in questo esempio? Beh, se aveste comprato $1 di Pitchfork martedì, quando era a 5, e lo aveste venduto mercoledì, quando era a 12, avreste ottenuto un profitto di $1,40. Se poi avessi comprato un altro dollaro mercoledì e l'avessi venduto giovedì, avresti avuto una perdita di 0,58 dollari. Complessivamente, il vostro profitto sarebbe stato di 0,82 dollari. Questo è il calcolo del rendimento percentuale medio.

D'altra parte, se tu fossi stato un investitore a lungo termine che avesse comprato martedì e avesse tenuto duro fino a giovedì, allora citare un “rendimento medio” dell'82% è altamente fuorviante, perché non corrisponde in alcun modo al rendimento dello 0% che hai effettivamente ottenuto!

La morale è che potrebbe essere meglio guardare i log-returns se siete un tipo di investitore buy-and-hold, perché i log-returns si annullano quando i prezzi fluttuano, mentre le variazioni percentuali del prezzo non lo fanno. Ma il rovescio della medaglia è che il vostro log-return medio su un periodo di tempo non vi dà molte informazioni su ciò che i prezzi hanno fatto, poiché è solo (log(prezzo finale) - log(prezzo iniziale))/numero di periodi. Poiché è così facile da calcolare dai prezzi iniziali e finali stessi, di solito non lo vedrete nelle pagine finanziarie, per quanto ne so.

Infine, per rispondere alla tua domanda: “Conoscere questa singola informazione indica qualcosa sul titolo?”, direi: non proprio. Dal punto di vista di questo unico indicatore, Pitchfork Oil e United Marshmallow sembrano investimenti identici, quando chiaramente non lo sono. Conoscere il log-return medio è esattamente lo stesso che conoscere il rapporto tra il prezzo finale e quello iniziale.

Conoscere il log return è utile - il log return può aiutarvi a calcolare il rendimento annuale nel periodo in cui è stato stimato - e questo dovrebbe essere comparabile tra i titoli.

Bisogna solo fare attenzione al calcolo in modo che i dividendi siano presi in considerazione in modo ragionevole.