Perché le opzioni di tipo americano valgono di più di quelle di tipo europeo?

Mi dispiace, ma i tuoi calcoli sono sbagliati. Non hai la stessa probabilità di fare tanti soldi aspettando la scadenza.

I prezzi delle azioni si muovono costantemente in entrambe le direzioni. Molto raramente le azioni salgono o scendono direttamente. Consideri un'azione con un prezzo di 12 dollari oggi. Forse quel titolo è un cattivo acquisto, e tra un mese sarà sceso a 10 dollari. Ma il mercato non si è ancora reso conto di questo, e nel corso della prossima settimana si riprende fino a $15.

Se hai comprato un'opzione europea (diciamo una call at-the-money, che scade tra 1 mese, a $12 alla nostra data di inizio), allora hai perso. La tua opzione è scaduta senza valore.

Se hai comprato un'opzione americana, avresti potuto esercitarla quando il prezzo dell'azione era a 15$ e fare un bel profitto.

Tenete a mente che stiamo parlando esattamente dello stesso titolo, con esattamente la stessa storia, esattamente nello stesso periodo di tempo. L'unica differenza è il contratto di opzione. L'opzione americana avrebbe potuto farvi guadagnare, se l'aveste esercitata in qualsiasi momento durante il rally, ma non l'opzione europea - sareste stati costretti a tenerla per un mese e infine lasciarla scadere senza valore.

(Naturalmente questo non è strettamente vero, poiché l'opzione europea stessa può essere venduta mentre è in the money - ma alla fine, qualcuno finirà per tenere la borsa, nessuno può esercitarla fino alla scadenza).

La differenza tra un'opzione americana e una europea è la differenza tra l'avere N possibilità di avere ragione (N è il numero di giorni fino alla scadenza) e l'avere solo una possibilità. Dovrebbe essere facile capire perché è più probabile che tu abbia un profitto con la prima, anche se non puoi prevedere accuratamente il movimento dei prezzi.

Un'opzione è uno strumento che ti dà il “diritto” (ma non l'obbligo) di fare qualcosa (se sei lungo).

Un'opzione americana ti dà più “diritti” (da esercitare in più giorni) di un'opzione europea.

Più “diritti”, maggiore è il valore (teorico) dell'opzione, a parità di altre condizioni, ovviamente. È così che funzionano le opzioni.

Si potrebbe indicare un risultato ex post e dire che non è così. Ma è vero ex ante.

Secondo il libro di Hull, le call americane ed europee su azioni che non pagano dividendi dovrebbero avere lo stesso valore. Le put americane, invece, dovrebbero avere un valore uguale o superiore alle put europee.

La ragione di questo è il valore temporale del denaro. In una put, si ottiene l'opzione di vendere un'azione a un determinato prezzo di esercizio. Se eserciti questa opzione a t=0, ricevi il prezzo d'esercizio a t=0 e puoi investirlo al tasso privo di rischio. Immaginiamo che il tasso d'interesse sia del 10% e che il prezzo d'esercizio sia di 10$. Ciò significa che a t=1, riceverete 11,0517$. Se, invece, non eserciti l'opzione in anticipo, a t=1 riceverai semplicemente il prezzo d'esercizio (10$). In pratica, il prezzo d'esercizio, che è il vostro payoff per un'opzione put, non guadagna interessi.

Un altro modo di vedere la cosa è che un'opzione è composta da due elementi: L'elemento “assicurazione” e il valore temporale dell'opzione. L'elemento assicurativo è ciò che si paga per avere l'opzione di comprare un'azione a un certo prezzo. Per le opzioni put, è uguale al payout= max(K-S, 0) dove K= prezzo di attacco e St= prezzo delle azioni. Il valore temporale dell'opzione può essere pensato come un premio di rischio. È la differenza tra il valore dell'opzione e l'elemento assicurativo.

Se i benefici dell'esercizio anticipato di un'opzione put (cioè guadagnare il tasso privo di rischio sui proventi) superano il valore temporale dell'opzione put, essa dovrebbe essere esercitata anticipatamente.

Un altro modo di guardare a questo è guardare i limiti superiori delle opzioni put. Per una put europea, il valore odierno dell'opzione non può mai valere più del valore attuale del prezzo d'esercizio scontato al tasso senza rischio. Se questa regola non è rispettata, ci sarebbe un'opportunità di arbitraggio semplicemente investendo al tasso privo di rischio. Per una put americana, dato che può essere esercitata in qualsiasi momento, il valore massimo che può assumere oggi è semplicemente uguale al prezzo di esercizio. Pertanto, poiché il PV del prezzo d'esercizio è inferiore al prezzo d'esercizio, la put americana può avere un valore maggiore.

Tenete presente che questo è per un'azione che non paga dividendi. Come detto in precedenza, se un'azione paga un dividendo potrebbe anche essere ottimale esercitare appena prima che questi vengano pagati.

Se ti piace la matematica, fai questo esperimento mentale:

Considera il risultato X di un processo di camminata casuale (un'azione non si comporta in questo modo, ma per capire la domanda che hai posto, questo è utile):

Il primo giorno, X = qualche intero 1 . In ogni giorno successivo, X sale o scende di 1 con probabilità ½.

Pensiamo all'acquisto di un'opzione call su X. Un'opzione europea con un prezzo di esercizio di S che scade il giorno N, se tenuta fino a quel giorno e poi esercitata se redditizia, darebbe un valore Y = min(X[N]-S, 0). Questo ha un valore atteso E[Y] che si potrebbe effettivamente calcolare. Il valore di mercato V[k] di quell'opzione il giorno #k, dove 1 < k < N, dovrebbe essere V[k] = E[Y]|X[k], che puoi anche calcolare. Il giorno #N, V[N] = Y. (il valore è noto)

Un'opzione americana, se tenuta fino al giorno #k e poi esercitata se redditizia, darebbe un valore Y[k] = min(X[k]-S, 0).

Per il momento, dimentichiamo di vendere l'opzione sul mercato. (quindi, le scelte sono o esercitarla in un certo giorno #k, o lasciarla scadere)

Diciamo che è il giorno k=N-1.

Se X[N-1] >= S+1 (in the money), allora avete due scelte: esercitare oggi, o esercitare domani se redditizio. Il valore atteso è lo stesso. (Entrambi sono uguali a X[N-1]-S). Quindi tanto vale esercitarlo e usare i vostri soldi altrove.

Se X[N-1] <= S-1 (out of the money), il valore atteso è 0, sia che esercitiate oggi, quando sapete che non vale niente, sia che aspettiate fino a domani, quando il caso migliore è che X[N-1]=S-1 e X[N] salga fino a S, quindi l'opzione è ancora senza valore.

Ma se X[N-1] = S (at the money), ecco che la cosa si fa interessante. Se eserciti oggi, vale 0. Se aspetti fino a domani, c'è ½ possibilità che valga 0 (X[N]=S-1), e ½ possibilità che valga 1 (X[N]=S+1). Aha! Quindi il valore atteso è ½. Quindi dovresti aspettare fino a domani.

Ora diciamo che è il giorno k=N-2.

Situazione simile, ma più scelte: Se X[N-2] >= S+2, potete venderlo oggi, nel qual caso sapete che il valore = X[N-2]-S, oppure potete aspettare fino a domani, quando il valore atteso è anche X[N-2]-S. Anche in questo caso, tanto vale esercitarlo ora.

Se X[N-2] <= S-2, sapete che l'opzione non ha valore.

Se X[N-2] = S-1, vale 0 oggi, mentre se aspettate fino a domani, vale o un valore atteso di ½ se sale (X[N-1]=S), o 0 se scende, per un valore netto atteso di ¼, quindi dovreste aspettare.

Se X[N-2] = S, oggi vale 0, mentre domani vale o un valore atteso di 1 se sale, o 0 se scende -> valore netto atteso di ½, quindi dovresti aspettare.

Se X[N-2] = S+1, oggi vale 1, mentre domani vale o un valore atteso di 2 se sale, o ½ se scende (X[N-1]=S) -> valore netto atteso di 1,25, quindi dovresti aspettare.

Se è il giorno k=N-3, e X[N-3] >= S+3 allora E[Y] = X[N-3]-S e dovresti esercitarlo ora; o se X[N-3] <= S-3 allora E[Y]=0.

Ma se X[N-3] = S+2 allora c'è un valore atteso E[Y] di (3+1.25)/2 = 2. 125 se si aspetta fino a domani, vs. esercitarlo ora con un valore di 2; se X[N-3] = S+1 allora E[Y] = (2+0.5)/2 = 1.25, vs. valore di esercizio di 1; se X[N-3] = S allora E[Y] = (1+0.5)/2 = 0.75 vs. valore di esercizio di 0; se X[N-3] = S-1 allora E[Y] = (0. 5 + 0)/2 = 0,25, contro un valore di esercizio di 0; se X[N-3] = S-2 allora E[Y] = (0,25 + 0)/2 = 0,125, contro un valore di esercizio di 0. (In tutti e 5 i casi, aspettare fino a domani. )

Puoi continuare così; la formula di ricorsione è E[Y]|X[k]=S+d = {(E[Y]|X[k+1]=S+d+1)/2 + (E[Y]|X[k+1]=S+d-1) per N-k > d > -(N-k), quando si dovrebbe aspettare e vedere} oppure {0 per d <= -(N-k), quando non ha importanza e l'opzione non ha valore} o {d per d >= N-k, quando si dovrebbe esercitare l'opzione ora}.

Il valore di mercato dell'opzione il giorno #k dovrebbe essere lo stesso del valore atteso da chi può esercitarla o aspettare.

Dovrebbe essere possibile dimostrare che il valore atteso di un'opzione americana su X è maggiore del valore atteso di un'opzione europea su X. *La ragione intuitiva è che se l'opzione è in the money di una quantità abbastanza grande che non è possibile essere out of the money, l'opzione dovrebbe essere esercitata presto (o venduta), cosa che un'opzione europea non permette, mentre se è quasi at the money, l'opzione dovrebbe essere tenuta, mentre se è out of the money di una quantità abbastanza grande che non è possibile essere in the money, l'opzione è definitivamente senza valore. *

Per quanto riguarda i titoli reali, non sono passeggiate casuali (o almeno, le probabilità sono variabili nel tempo e più complesse), ma ci dovrebbero essere situazioni analoghe. E se c'è un'alta probabilità che un titolo scenda, è il momento di esercitare/vendere un un'opzione americana in-the-money, mentre non è possibile farlo con un'opzione europea.

edit : …che dire: il calcolo che ho dato sopra per il random walk non è troppo diverso concettualmente dal modello di pricing delle opzioni Binomiale .

Le differenze di liquidità spiegano perché le opzioni di tipo americano valgono generalmente di più delle loro controparti di tipo europeo. Per quanto posso dire, nessuno ha menzionato la liquidità nella loro risposta a questa domanda, hanno solo introdotto una matematica e una logica inutilmente complesse ignorando i principi economici di base. Questo non vuol dire che le risposte precedenti siano tutte sbagliate - hanno solo a che fare con fattori di periferia invece che con la causa centrale.

La liquidità è un determinante chiave del prezzo/valutazione nei mercati finanziari. La liquidità descrive semplicemente la facilità con cui un'attività può essere comprata e venduta (convertita in denaro). Senza entrare nel merito delle ragioni, i buoni del tesoro sono uno dei titoli più liquidi - possono essere comprati o venduti quasi istantaneamente in qualsiasi momento per un prezzo esatto. La quasi perfetta liquidità dei buoni del tesoro è una delle ragioni principali per cui il prezzo (rendimento) di un t-bill sarà sempre più alto (rendimento inferiore) di quello di un'altra identica obbligazione societaria o municipale. Detto in termini generali, un bene relativamente liquido vale sempre di più di un bene relativamente illiquido, a parità di condizioni.

Il valore della liquidità è facile da capire - lo sperimentiamo ogni giorno nella vita reale. Se stai comprando una casa o un'auto, la capacità di rivenderla se necessario è una componente importante della decisione. È lo stesso per gli investitori - la maggior parte delle persone preferisce un'attività che possono liquidare rapidamente e facilmente se si presenta la necessità di contanti.

Non è diverso con le opzioni. Le opzioni di tipo americano permettono al titolare di esercitare (liquidare) in qualsiasi momento, mentre l'acquirente di un'opzione europea ha il suo denaro vincolato fino a una data specifica. Ovviamente, raramente ha senso esercitare un'opzione in anticipo in termini di rendimenti netti, ma a volte un investitore ha un disperato bisogno di contanti e questo bisogno supera la riduzione dei profitti netti dall'esercizio anticipato.

Si potrebbe sostenere che questo vantaggio di liquidità è eliminato dal fatto che è possibile scambiare (vendere) entrambi i tipi di opzioni senza restrizioni prima della scadenza, chiudendo così la posizione lunga. Questo è un punto valido, ma ignora il fatto che c'è sempre un compratore dall'altra parte di uno scambio di opzioni, il che significa che la posizione lunga, e il diritto/limitazione di esercizio anticipato, non viene mai eliminato, semplicemente cambia di mano. Ne consegue che il vantaggio di liquidità all'americana aumenta il valore di mercato delle opzioni indipendentemente dalla posizione (call/put o short/long).

Senza mettere un numero esatto, il tasso di interesse generale (valore temporale del denaro) potrebbe essere usato per approssimare il costo aggiuntivo di un'opzione all'americana rispetto a un contratto simile in stile europeo.

Opzioni put

Perché le opzioni americane valgono di più di quelle europee?

• Il prezzo massimo delle opzioni put americane è superiore al prezzo massimo delle opzioni put europee.
• Il prezzo minimo delle opzioni put americane è superiore al prezzo minimo delle opzioni put europee.

Per illustrare:

Supponiamo che un'azione venga venduta a 40 dollari e che abbiamo un'opzione put con prezzo di esercizio di 50 dollari.

American puts

• Il prezzo minimo di un'opzione put americana è la differenza tra il prezzo di esercizio e il prezzo delle azioni (cioè il valore intrinseco). Nel nostro caso, il valore minimo dell'opzione put americana è di $10 (cioè $50 - $40). Se questo non fosse il caso (cioè se il prezzo della put è inferiore a 10$), sarebbe possibile fare un arbitraggio comprando delle put ed esercitarle immediatamente. Per esempio, se le put costano 7$, potremmo comprare le azioni (-40$), comprare una put (-7$), ed esercitare immediatamente la put (+50$), ottenendo un profitto di 3$.

• Il prezzo massimo di un'opzione put americana è lo strike price. Nel nostro caso, il valore massimo della put è 50$. Il prezzo della put non può essere maggiore del prezzo di esercizio. Chi pagherà, diciamo, 52 dollari per il diritto di vendere a 50 dollari? Nessuno.

Put europee

• A differenza delle opzioni americane, il prezzo minimo di un'opzione put europea può essere inferiore alla differenza tra il prezzo di esercizio e il prezzo delle azioni (cioè inferiore al valore intrinseco). Per esempio, se il prezzo corrente dell'azione è di 40$, un'opzione put con prezzo d'esercizio di 50$ può essere venduta a 9$. Perché?

• A differenza delle opzioni americane, il prezzo massimo di un'opzione put europea è inferiore al prezzo d'esercizio. Perché? Supponiamo che questo non sia il caso e che il prezzo di un'opzione put sia esattamente uguale al prezzo di esercizio (per esempio 50$). In questo caso, si può vendere l'opzione put (+$50), e mettere il ricavato in un conto bancario per guadagnare interessi. Per esempio, uno sarebbe in grado di vendere un sacco di opzioni put (ad esempio +$1 miliardo), comprare abbastanza azioni per coprire le opzioni put (ad esempio -$800 milioni), e mettere il ricavato ($200 milioni) in un conto bancario per guadagnare interessi. I prestiti gratuiti non dovrebbero accadere. Quindi, il prezzo massimo di un'opzione put europea deve essere inferiore al prezzo di esercizio.

Opzioni call

I prezzi massimi e minimi sono gli stessi sia per le opzioni europee che per quelle americane. Per illustrare:

Supponiamo che un'azione venga venduta a 40 dollari e che abbiamo un'opzione call con prezzo di esercizio di 30 dollari.

• Che sia europea o americana, il prezzo minimo di un'opzione call è superiore alla differenza tra il prezzo delle azioni e il prezzo di esercizio (cioè superiore al valore intrinseco). Se questo non fosse il caso (cioè il prezzo della call è esattamente 10$), sarebbe possibile andare allo scoperto (+40$), comprare la call (-10$) e mettere il ricavato (30$) in un conto bancario che produce interessi. Per esempio, uno sarebbe in grado di vendere allo scoperto un sacco di azioni (ad esempio, +$1 miliardo), comprare abbastanza put per coprire lo short (ad esempio, -$250 milioni) e mettere il ricavato in contanti ($750 milioni) in un conto bancario per guadagnare interessi sul denaro. Quindi, il prezzo minimo di un'opzione call deve essere abbastanza alto da negare tale possibilità (cioè il minimo deve essere maggiore della differenza tra il prezzo delle azioni e il prezzo di esercizio).

• Che sia europeo o americano, il prezzo massimo di un'opzione call è il prezzo dell'azione sottostante stesso. Se questo non fosse il caso (cioè l'opzione call costa più dello stock), si potrebbe semplicemente comprare lo stock piuttosto che preoccuparsi delle opzioni. Dopo tutto, perché qualcuno dovrebbe pagare per il diritto di comprare un'azione se il diritto stesso costa più dell'azione?

Matematicamente parlando, c'è mai una buona ragione per esercitare un'opzione americana in anticipo?

• Dalle illustrazioni precedenti, dovrebbe essere chiaro che un'opzione americana non viene mai venduta al di sotto del suo valore intrinseco (se un'opzione americana venisse venduta al di sotto del suo valore intrinseco, si potrebbe guadagnare comprando l'opzione ed esercitandola immediatamente).
• Il prezzo di un'opzione consiste nel valore intrinseco + il valore temporale. Poiché il prezzo di un'opzione americana non è mai inferiore al valore intrinseco, si può concludere che la componente di valore temporale di un'opzione americana non è mai negativa.
• Ci sono due modi per disporre di un'opzione prima della scadenza:
• Esercizio anticipato: Se si esercita anticipatamente un'opzione americana, il guadagno è pari al solo valore intrinseco.
• Vendita: Se si vende l'opzione americana, il guadagno include sia il valore intrinseco che il valore temporale (che non è mai negativo).
• Dato che si guadagnerà sempre di più da una vendita che da un esercizio anticipato, l'esercizio anticipato non ha senso.

Un'opzione ti dà una opzione. Cioè, non state comprando nessun titolo - state semplicemente comprando una opzione per comprare un titolo. L'unico valore di ciò che compri è l’opzione di comprare qualcosa.

Un'opzione americana offre più flessibilità - cioè vi offre più opzioni per comprare il titolo. Dato che hai più opzioni, il costo dell'opzione è più alto.

Naturalmente, un buon esempio fa capire perché questo è il caso. Consideriamo il VIX. Le opzioni sul VIX sono in stile europeo. A volte il VIX ha dei picchi pazzeschi - triplicando il suo valore in pochi giorni. Di solito però torna giù abbastanza velocemente - entro un paio di settimane. Quindi le opzioni sul VIX non valgono molto di più, perché il VIX tornerà probabilmente alla normalità. Tuttavia, se la persona avesse potuto esercitarle proprio quando è arrivato al massimo, avrebbe fatto una fortuna molte volte quello che la sua opzione valeva. Dato che sono in stile europeo, però, avrebbero dovuto aspettare che la loro opzione fosse riscattabile, proprio quando il VIX sarebbe tornato alla normalità. In questo caso, un'opzione in stile americano avrebbe molto più valore - specialmente per qualcosa che è difficile da prevedere, come il VIX.

Il valore di un'opzione ha 2 componenti, l'elemento estrinseco o valore temporale e il valore intrinseco dalla differenza tra il prezzo di esercizio e il prezzo del bene sottostante. Con un'opzione americana o europea, il valore intrinseco di un'opzione call può essere “bloccato” in qualsiasi momento vendendo la stessa quantità del bene sottostante (che sia un'azione, un future, ecc.).

Inoltre, il valore temporale di qualsiasi opzione può essere monetizzato tramite il delta hedging dell'opzione, cioè comprando o vendendo una quantità del bene sottostante ponderata dalla misura della certezza (delta) che l'opzione sia in the money alla scadenza.

Invece, il valore extra dell'opzione americana deriva dal beneficio finanziario di essere in grado di realizzare il valore del bene sottostante in anticipo. Per un'azione che paga i dividendi, questo sarà principalmente il dividendo. Ma per le azioni che non pagano dividendi o per i futures, l'acquirente di un'opzione in-the-money può realizzare i suoi guadagni intrinseci sull'opzione in anticipo e guadagnare interessi sui profitti oggi. Ma quello che sacrificano è il valore temporale dell'opzione.

Tuttavia, quando un'opzione diventa molto in the money e il delta si avvicina a 1 o -1, l'attualizzazione del valore intrinseco (cioè l'importo extra che un flusso di cassa futuro vale ogni giorno man mano che ci si avvicina al pagamento) diventa più grande del ‘theta’ o decadimento del valore temporale dell'opzione. Allora diventa ottimale l'esercizio anticipato, abbandonare l'opzionalità e realizzare i guadagni monetari in anticipo.

Per un'azione che non paga il dividendo, il valore dell'opzione call americana è in realtà lo stesso di quella europea. Il prezzo a pronti dell'azione sarà inferiore al prezzo a termine alla scadenza scontato del tasso privo di rischio (o del vostro costo di finanziamento). Questo compenserà esattamente il guadagno monetario esercitando in anticipo e depositando il ricavato. Tuttavia, per un'opzione su un futuro, il valore odierno del bene sottostante (il futuro) è lo stesso che alla scadenza ed è possibile realizzare completamente l'interesse guadagnato sul denaro ricevuto oggi. Quindi l'opzione call americana vale di più. Per entrambi gli esempi l'opzione put americana vale di più, leggermente di più per l'azione. Poiché il prezzo a pronti dell'azione è inferiore al prezzo a termine, il proprietario dell'opzione put realizza un profitto intrinseco maggiore (non attualizzato) vendendo l'azione al prezzo d'esercizio più alto oggi piuttosto che aspettare la scadenza, oltre a realizzare l'interesse guadagnato.

La liquidità può influenzare il valore percepito di essere in grado di esercitare in anticipo, ma non è un fattore tangibile che viene aggiunto alla matematica comunemente usata per la valutazione delle opzioni, e non è davvero una considerazione per la maggior parte delle attività che hanno mercati di opzioni negoziabili.

È anche importante ricordare che in qualsiasi punto della vita dell'opzione, non si conosce il futuro percorso del prezzo. State solo modellando la distribuzione dei probabili risultati. Quello che succede dopo l'esercizio anticipato di un'opzione americana non ha più alcuna influenza sul suo valore; questo ora è zero! Il fatto che l'azione crolli successivamente è irrilevante. Ciò che è rilevante è che quando si esercita anticipatamente una call si “rinuncia” a tutto il potenziale di rialzo protetto dal limite al ribasso dal prezzo di esercizio.

Pensatela in questo modo, se viaggiaste indietro nel tempo di un mese - con una perfetta conoscenza del prezzo delle azioni AAPL in quel periodo - che guarda caso ha un picco feroce per poi tornare al suo vecchio prezzo alla fine del periodo - non paghereste di più per un'opzione americana?

Un altro modo di pensare alle opzioni è come una polizza assicurativa. Non paghereste di più per una polizza che copra le perdite dovute a incendi e terremoti invece che solo le perdite dovute ai terremoti?

Infine - e forse più direttamente - una delle ragioni più comuni per cui le persone esercitano (invece di vendere) un'opzione americana prima della scadenza è se è stato appena annunciato un dividendo inaspettato (più grande del valore temporale residuo dell'opzione) che sarà pagato prima della scadenza del contratto di opzione. Perché solo gli azionisti effettivi ottengono i dividendi, non i titolari di opzioni. Un detentore di un'opzione americana ha la possibilità di esercitare in tempo per afferrare quel dividendo - un detentore di un'opzione europea non ha questa capacità.

Meno flessibilità (ciò per cui si paga davvero) = premio di opzione più basso.