Qual è la formula per il pagamento mensile di un mutuo a tasso variabile?

In un mutuo a tasso variabile (ARM), il tasso di interesse iniziale è garantito per un certo periodo. Dopo questo periodo, il tasso può salire o scendere.

Il pagamento mensile su questi prestiti è calcolato come se il tasso non cambiasse mai durante la vita del prestito. Tuttavia, se il tasso cambia, il pagamento mensile cambia anche per coprire il cambiamento di interesse in modo che il mutuo sia ancora pagato nella stessa quantità di tempo.

Usando il suo esempio, diciamo che lei ha un mutuo di 25 anni che è un ARM di 5 anni. Il tasso di interesse iniziale è del 3%, il che significa che per i primi 5 anni il tasso è fisso al 3%. Il pagamento mensile per quei primi 5 anni è lo stesso che si avrebbe se si avesse un mutuo di 25 anni a tasso fisso al 3%. Ecco la formula:

dove:

• P = pagamento mensile
• L = importo del prestito
• c = tasso di interesse mensile. Questo è il tasso d'interesse annuale diviso per 12.
• n = numero di mesi nel prestito (anni \12)

Nel nostro esempio, se il prestito è di 100.000 dollari, il tasso di interesse è del 3% (il tasso di interesse mensile è 0,25%, o 0,0025), e il numero di mesi è 300 (25 anni), il pagamento mensile sarà di 474,21 dollari.

Ora, dopo 5 anni di mutuo di 25 anni, il piano di ammortamento ci dice che il capitale rimanente sarà di 85.505,48 dollari.

Quindi se il tasso salta al 4% in quel momento, il pagamento mensile sarà ricalcolato in modo che il prestito sia ancora pagato nel tempo originale di 25 anni. Per trovare il nuovo pagamento, usate di nuovo la formula di cui sopra, ma questa volta L=85.505,48$, c=0,04/12=0,0033333, e n=20*12=240. Il nuovo pagamento mensile è di 518,15 dollari.

Se, invece, avete un prestito in cui il pagamento sarà costante per tutto il periodo del prestito, ma il tasso di interesse cambia durante il periodo (questo non è comune), c'è una formula anche per questo. Vedi questa domanda di StackOverflow per i dettagli.

Normalmente in un mutuo a tasso variabile il pagamento varierebbe con il tasso. Tuttavia ecco una formula per un pagamento fisso, (dove, come dice l'OP, l'adeguamento del tasso è noto in anticipo):

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

dove

d is the periodic payment
p is the loan amount
r1 is the periodic rate for the first m periods
r2 is the periodic rate for the next n periods

Ecco come si ricava la formula.

Innanzitutto, prendiamo un problema semplificato per mostrare più chiaramente il funzionamento.

Supponiamo un prestito di 100.000 sterline rimborsato con 5 pagamenti annuali. I primi 2 anni al 3% e i successivi 3 anni al 4%.

p = 100,000
r1 = 0.03
m = 2
r2 = 0.04
n = 3

L'importo del prestito è uguale alla somma del valore attuale dei pagamenti. Questi sono i valori attuali dei pagamenti per ogni periodo, scontati per i tassi di interesse:-

pv1 = d/(1 + r1)
pv2 = d/((1 + r1) (1 + r1))
pv3 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2))
pv4 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2))
pv5 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2) (1 + r2))

E p = pv1 + pv2 + pv3 + pv4 + pv5

Questo può essere espresso come sommatoria

e convertito in una formula da induzione :

p = ((1 + r1)^-m (1 + r2)^-n (-d r1 + 
      d (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2)))/(r1 r2)

Riordinando si ottiene la formula del pagamento:

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

∴ d = 22078.67

Tabella di ammortamento per il risultato di cui sopra che mostra cifre e formule

Tornando all'esempio del PO per, diciamo, un prestito di un milione, con il tasso di interesse effettivo al 3% per i primi 5 anni e 4% per i successivi 20 anni.

p = 1,000,000
r1 = (1 + 0.03)^(1/12) - 1 = 0.00246627
m = 5*12 = 60
r2 = (1 + 0.04)^(1/12) - 1 = 0.00327374
n = (25 - 5)*12 = 240

Il pagamento d = 5026.48

Nota per l'uso dei tassi nominali

Per tassi di interesse nominali del 3% e 4% composti mensilmente:

p = 1,000,000
r1 = 0.03/12 = 0.0025
m = 5*12 = 60
r2 = 0.04/12 = 0.00333333
n = (25 - 5)*12 = 240

Il pagamento d = 5057.80