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Qual è la probabilità neutrale al rischio?

Ho scoperto come prezzare le opzioni europee e sono inciampato su un termine e un'equazione che non avevo capito:

Se assumiamo che gli investitori siano indifferenti al rischio e che i rendimenti attesi su tutte le attività siano uguali. Nel caso dell'investimento in azioni, per la ptobabilità neutrale al rischio, il payoff derivante dalla detenzione dell'azione, tenendo conto delle possibilità di stato in alto e in basso, sarebbe uguale al tasso privo di rischio continuamente capitalizzato atteso nella prossima fase temporale, come segue :

James Ma Weiming in Mastering Python for Finance, p76

d)

Qual è la probabilità neutrale al rischio q?

Non sono sicuro di cosa siano u e d ma penso che sia la probabilità che il titolo salga o scenda.

Su Wikipedia ho trovato:

In finanza matematica, una misura neutrale al rischio, (chiamata anche misura di equilibrio, o misura di martingala equivalente), è una misura di probabilità tale che ogni prezzo delle azioni è esattamente uguale all'aspettativa scontata del prezzo delle azioni sotto questa misura.

E su Investopedia :

Le probabilità neutrali al rischio sono probabilità di risultati futuri aggiustate per il rischio, che sono poi usate per calcolare i valori attesi delle attività. Il vantaggio di questo approccio di pricing neutrale al rischio è che una volta che le probabilità neutrali al rischio sono calcolate, possono essere usate per prezzare ogni asset in base al suo payoff atteso. Queste probabilità teoriche neutrali al rischio differiscono dalle reali probabilità del mondo reale; se queste ultime fossero usate, i valori attesi di ogni titolo dovrebbero essere aggiustati per il suo profilo di rischio individuale.

In effetti, forse mi sono sbagliato. Infatti: la sezione successiva era per sapere se questa formula era pertinente anche per i futures.

Infatti, secondo l'autore:

A differenza degli investimenti in azioni, gli investitori non devono poi fare un pagamento anticipato per raccontare un'opzione in un contratto futures. In un senso neutrale al rischio, il tasso di crescita atteso dal possesso di un contratto futures è zero e il payoff può essere scritto come segue:

)d)

Quindi

![1=qu+(1-q)d](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=1=qu+(1-q)

Eppure, con pu=1,2 e pd=0,8, la probabilità di salita e discesa, avrei dovuto avere : q= 0,5.

Ma ecco cosa ha ottenuto l'autore:

Fonte

Risposte (1)

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2017-06-23 17:11:44 +0000

Lei ha posto diverse domande, quindi penso che quello che farò sarà darle un'intuizione sui prezzi neutrali al rischio per iniziare. Poi penso che la risposta a molte delle vostre domande diventerà chiara.

Probabilità fisica

C'è una certa probabilità che ogni evento là fuori si verifichi effettivamente, compreso il prezzo di un'azione che sale. Questo è ciò che chiamiamo la probabilità fisica. È molto intuitivo, ma non direttamente utile per trovare il prezzo di qualcosa perché il prezzo non è la media ponderata dei risultati futuri. Per esempio, se hai un'azione che è altamente correlata con il mercato e ha il 50% di possibilità di valere 20 dollari domani e il 50% di valere 10 dollari, il suo valore oggi non è 15 dollari. Varrà meno, perché è un'azione rischiosa e deve guadagnare un premio.

Quando hai a che fare con le probabilità fisiche, se vuoi calcolare il valore devi prendere la media ponderata per le probabilità di tutti i prezzi che potrebbe avere domani e poi aggiungere una sorta di compensazione per il rischio, che può essere difficile da calcolare.

Probabilità neutrale al rischio

La teoria finanziaria ha mostrato che invece di calcolare i valori in questo modo, possiamo incorporare la compensazione del rischio nelle nostre probabilità. Cioè, possiamo creare una nuova serie di “probabilità” aggiustando la probabilità di buoni risultati di mercato verso il basso e aumentando la probabilità di cattivi risultati di mercato. Questo può sembrare folle perché queste probabilità non sono più fisiche, ma ha la proprietà desiderabile che poi usiamo questo insieme di probabilità per prezzare ogni asset là fuori: tutti (azioni, opzioni, obbligazioni, conti di risparmio, ecc.) Chiamiamo queste probabilità aggiustate che probabilità neutrali al rischio. Quando dico prezzo voglio dire che si può moltiplicare ogni risultato per la sua probabilità neutrale al rischio e scontare al tasso privo di rischio per trovare il suo prezzo corretto.

Per essere chiari, abbiamo cambiato la probabilità che il mercato salga o scenda, non la probabilità che un particolare titolo si muova indipendentemente dal mercato. Poiché i movimenti che sono indipendenti dal mercato non influenzano i prezzi, non dobbiamo aggiustare le probabilità che accadano per ottenere probabilità neutrali al rischio.

Comunque, il modo migliore per pensare alle probabilità neutrali al rischio è come un insieme di probabilità fasulle che danno costantemente il prezzo corretto di ogni attività nell'economia senza dover aggiungere un premio al rischio. Se prendiamo semplicemente la media ponderata delle probabilità neutrali al rischio di tutti i risultati e la scontiamo al tasso privo di rischio, otteniamo il prezzo. Molto utile se li avete.

Risk-Neutral Pricing

Non possiamo ottenere probabilità neutrali al rischio dalla ricerca sulla probabilità che un'azione salga o scenda effettivamente. Quella sarebbe la probabilità fisica. Invece, possiamo capire le probabilità neutrali al rischio dai prezzi.

Se un'azione ha solo due possibili prezzi domani, U e D, e la probabilità neutrale al rischio di U è q, allora

Prezzo = [Uq + D(1-q)] / e^(rt)

L'esponenziale è solo l'attualizzazione del tasso senza rischio. Questo è l'inizio delle equazioni che avete menzionato. La cosa principale da ricordare è che q non è la probabilità fisica, è quella neutrale al rischio. Non lo sottolineerò mai abbastanza. Se avete prestabilito quali possono essere U e D, allora c'è solo un'incognita in quell'equazione: q. Ciò significa che potete guardare il prezzo delle azioni e risolvere per la probabilità neutrale al rischio che le azioni salgano.

La ragione per cui questo è utile è che si può la stessa probabilità neutrale al rischio per prezzare l'opzione associata. Nel caso dell'opzione non si conosce il suo prezzo oggi (ancora) ma si sa quanto denaro varrà se le azioni salgono o scendono. Usa questi valori e la probabilità neutrale al rischio che hai calcolato dal titolo per calcolare il prezzo dell'opzione. Questo è quello che sta succedendo qui.

Da ricordare: la stessa misura di probabilità neutrale al rischio valuta tutto ciò che c'è là fuori. Cioè, se si sceglie un'attività, si moltiplica ogni possibile risultato per la sua probabilità neutrale al rischio e si sconta al tasso senza rischio, si ottiene il suo prezzo. In generale usiamo i prezzi di cose che conosciamo per dedurre cose sulla misura di probabilità neutrale al rischio per ottenere prezzi che non conosciamo.
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