Il modello Black-Scholes si applica alle opzioni American Style?

La differenza tra un'opzione americana ed europea è che l'opzione americana può essere esercitata in qualsiasi momento, mentre l'opzione europea può essere liquidata solo alla data di regolamento. L'opzione americana è uno strumento “a tempo continuo”, mentre l'opzione europea è uno strumento “a tempo determinato”. Black Scholes si applica a quest'ultima opzione, quella europea. In “certe” circostanze (ma non tutte), le due sono abbastanza vicine da essere considerate come sostituti.

Uno dei loro discepoli, Robert Merton, lo ha “ritoccato” per descrivere le opzioni americane. Ci sono dibattiti su questo, e altri ritocchi, anni dopo.

Black-Scholes è “abbastanza vicino” per le opzioni americane dato che di solito non ci sono ragioni per esercitare presto, quindi la capacità di farlo non ha importanza. Il che è un bene dato che è difficile da modellare matematicamente, ho letto.

L'esercizio anticipato sarebbe di solito causato da uno strano mispricing per qualche ragione tecnica / di azione di mercato dove le valutazioni teoriche delle opzioni sono incasinate. Se vendi una call che è molto in the money e non ottieni alcun valore temporale (dopo lo spread), per esempio, probabilmente hai venduto la call a un arbitraggista che la sta per esercitare. Ma cose insolite come queste non cambiano molto il quadro generale.

Solo alcune osservazioni nel quadro di Black-Scholes:

• Le call americane hanno lo stesso prezzo delle call europee su asset che non pagano dividendi.
• La formula di Black-Scholes è applicabile solo alle opzioni europee (e, per quanto detto sopra, alle call americane su beni che non pagano dividendi).
• Per la parità call-put, se si hanno prezzi call europei per alcune date di scadenza e strikes, si hanno anche i prezzi put europei per quelle date di scadenza e strikes.
  
• Se hai i prezzi delle call europee per una data scadenza T per tutti gli strike, puoi facilmente calcolare il prezzo di qualsiasi payoff “europeo” per quella scadenza (per esempio, una call digitale V = 1_{S>K}, o una parabola V = S^2, o altro). Concettualmente, si formano degli spread a farfalla __/_ per una serie di strike crescenti, e ti danno la probabilità “risk-neutral” di finire lì, e poi basta integrare sul tuo payoff.

Poi, è possibile utilizzare la struttura di Black-Scholes (il prezzo delle azioni è un moto browniano geometrico, nessun costo di transazione, tasso di interesse unico, ecc. ecc.) e metodi numerici (come un risolutore di PDE) per valutare numericamente le opzioni americane, ma non con una semplice formula in forma chiusa (anche se ci sono approssimazioni in forma chiusa).

Una piccola tangente. Si può affermare che l’S&P ha un rendimento medio del 10% e una deviazione standard del 14% circa, ma quando ci si basa su questo, si scopre che i rendimenti effettivi non si adattano così bene alla curva a campana standard. Le anomalie del mercato producono il “diluvio dei 100 anni” molto più spesso di quanto previsto su un periodo di 20 anni. Questo significa semplicemente che il modello non riflette la realtà nelle code, anche se le +/- 2 deviazioni standard sembrano carine.

Questo vale anche per i Black-Sholes (l'ho quasi abbreviato in sigla, poi ci ho pensato meglio, il modello mi piace davvero). La distinzione tra americano ed europeo è abbastanza piccola che la precisione del modello è più ampia della differenza di questi due stili di opzioni. Credo che se si guarda il modello e i prezzi reali, si può determinare la volatilità di un dato stock usando i prezzi intorno al prezzo di esercizio, ma quando poi si modellano le opzioni ben out of money, spesso si trova il mercato che crea la propria valutazione.

Sì, la tua comprensione è corretta. In senso stretto, il modello Black-Scholes è usato per valutare le opzioni europee. Tuttavia, il payoff (prezzo) delle opzioni europee e americane sono abbastanza vicini e possono essere utilizzati come approssimazione se non vengono pagati dividendi sul sottostante e il costo di liquidità è vicino a zero (ad esempio in uno scenario di tassi di interesse molto bassi).

Per ora, non ci sono metodi in forma chiusa per prezzare le opzioni americane. Almeno nessuno che io conosca. Dovresti affidarti a lattices per multi-period binomial pricing , che è per lo più ricorsivo.

come nessun vantaggio dall'esercitare l'opzione americana call in anticipo, possiamo usare la formula di Black Schole per valutare l'opzione. tuttavia, l'opzione americana put è più probabile che venga esercitata in anticipo, il che significa che Black Schole non si applica a questo stile di opzione